函数的奇偶性与周期性、对称性

一、推断函数的奇偶性与周期性、对称性的办法本事

1.函数具有奇偶性包含两个必备条件：

(1)界说域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不富裕条件，以是起首思索界说域．

(2)推断f(x)与f(－x)的干系．在推断奇偶性时，可以转化为推断奇偶性的等价干系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)对否建立．

稀有特别布局的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．

2.已知函不偶偶性可以处理的3个成绩

(1)求函数值：将待求值使用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求剖析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再使用奇偶性求出．

(3)求剖析式中的参数：使用待定系数法求解，依据f(x)±f(－x)＝0取得关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．　

3.函数周期性的推断与使用

(1)推断函数的周期性只需证实f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证实函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他实质综合命题．

(2)依据函数的周期性，可以由函数局部的实质取得函数的全体实质，在处理具体成绩时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．　

二、函数的奇偶性与周期性、对称性的常用结论。

1．函不偶偶性的常用结论

(1)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相反的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公用界说域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性的常用结论

对f(x)界说域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝f（x）(1)，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－f（x）(1)，则T＝2a(a>0)．

三、函数的奇偶性与周期性、对称性的易错点

1、推断函数的奇偶性不成无视函数的界说域．函数的界说域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不富裕条件．

2、函数f(x)是奇函数，必需满意对界说域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不克不及说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．相反偶函数也是云云．

3、不是一切的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.