无理数(趣味数学：无理数｜“点滴”专栏)--go百科网

兴趣数学：蛮横数｜“点滴”专栏

撰文 | 夏志宏

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公元1610年，天文学家伽利略发觉了太阳黑子，这在欧洲惹起了十分恐慌。从亚里士多德以来，人们不休以为太阳是完善无缺的。太阳黑子的存在毁坏了这些根深蒂固的文明理念。太阳有缺陷这个内幕也与事先的宗教教义所相悖。

相反，人们不休以为数字是完善无缺的，蛮横数的发觉使一群数学迷们特别恐慌。为了避免众人窥视到天主的缺陷，发觉者被绑上石头，沉入海底。

公元前第五世纪，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派倒霉的希勃索斯（Hippasus）发觉了一个惊人内幕，一个边长为一的正方形的对角线长度不是有理数。蛮横数的存在分析白数轴上存在不克不及用有理数表现的“清闲”，和毕达哥拉斯学派的“万物皆为数（有理数）”的哲理大相径庭。学派首脑惊骇、恼怒今后，不幸的希勃索斯被千般折磨，判了死罪。自此毕达哥拉斯学派把守住这一奥密当成学派的头号大事。

在人类封建史上，以“主义”、“头脑”等教条来“引导”、“武装”封建研讨时，其后果屡屡是哭剧。

依据勾股定理（在东方叫毕达哥拉斯定理），边长为一的正方形的对角线长度为

，也就是说，希勃索斯是第一个发觉

是蛮横数的人。

依据古希腊哲学家柏拉图《对话录》纪录，数学家Theodorus of Cyrene发觉了从2到17整数中，除了4，9，16这几个完全平方数而外，一切的平方根都是蛮横数。柏拉图没有表明Theodorus为何停在17。内幕上，可以证实任何正整数的平方根假如不是恰好是整数的话，那一定是蛮横数。

蛮横数的发觉常常被称为数学史上的第一次危急，其影响是深远的。有理与蛮横的对峙不仅有笼统的哲学意义，也有广泛的使意图义。

两个实数的比比如果是有理数，我们称这两个实数有理干系。在力学上，震动频率的有理干系会惹起共振，而共振会带来体系的不安定。举个小例子，假如人在木桥上走动的频率与木桥晃动的固有频率有理干系，就会惹起伤害的共振征象。

再举个例子，太阳系在火星和木星之间有浩繁的小行星，构成一个小行星带。已发觉并确认的就有几十万颗。这些小行星在太空中的分布和它们的轨道安定性有亲密干系。假如小行星绕太阳的活动周期和木星的周期比例是有理数，这就构成共振，它们之间的互相影响就会很大，这些影响屡屡会招致小行星轨道的不安定。因此，在这些轨道上小行星的数目就会很少。小行星分布的出名Kirkwood清闲就是在这些共振地区。比力大的清闲是3:1、5:2、7:3和2:1等共振地区。

在音乐上，频率共振会带来和谐和美感，但蛮横数的显现却带来了一些为难及被动。基音——好比C音，频率为261Hz——确定今后，高八度就是C的频率的两倍522Hz。从C到音高C之间，怎样确定别的音阶的频率是一个十分幽默的成绩。

两个共振频率放在一同会令人听起来爽心动听，3/2是仅次于2/1共振的最为简便和地道的共振。依照毕达哥拉斯创建的“五度相生律”，假如基音是C，纯五度则定为C频的3/2倍；纯四度定为C频降3/2后再乘以2，也就是C的4/3；纯二度定为3/2平方除以2；纯六度为3/2的立方除以2。八度的别的音级的频率都是以相似的五度相生而产生。

由“五度相生律”所产生的八度可分为十二个音程，音程之间距离并不相称。古代音乐为了便于基音的改动和转调，不得不把八度均匀分红十二个半音音程，使得各相邻两音之间的频率之比完全相称，云云取得的便是所谓的“十二均匀律”。十二均匀律基音改动今后音阶的比例也会完全一律。十二均匀律在交响乐队和键盘乐器中取得广泛使用，如今的钢琴便是依据十二均匀律来定音的。

但十分遗憾的是，十二均匀律半音的频率比为2的1/12次方，是一个蛮横数。并且每两个音的频率比，除了高八度外，都是蛮横数。好比，纯五度音程的两个音的频率比为2 的7/12 次方，是个蛮横数，约莫即是1.4983，和天然泛音序列的1.5有些不同。相反，别的和弦音符都跟“五度相生律”序列中的几个音符不一样。所幸的是，纯五度、纯四度、大三度等在十二均匀律中和3/2，4/3，5/4十分接近，凡人听不出什么区别。正由于云云，小号等靠天然泛音序列定音的按键吹奏乐器得以在交响乐队演奏，而没有分明的违和感。

最初，关于蛮横数的实质有很多幽默的数学成绩。好比，黄金支解是一切蛮横数中最“蛮横”的蛮横数。故意思的是，蛮横数不仅存在，并且内幕上比有理数多得多。

——2018.7. 深圳

我们用反证法。假定

是有理数，也就是说

这里p和q都是正整数，我们可以假定p和q互为素数，也就是说p和q没有公因子。等式两边平方今后，取得

也就是说

因此p必需是偶数，也就是说p=2k，k为一正整数。我们因此取得

大概

因此，q也必需是偶数。P和q都是偶数，与p和q互素的假定分歧。

证毕。

制版编纂 | 斯嘉丽

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