摆线的方程

摆线是一种特别典范的参数曲线，当它沿着一条直线转动时，它由圆周上的一点刻画出来。摆线图如下所示

摆线的参数方程

摆线的x坐标

起首让我们确定圆心。关于 x 坐标，起首点 P 沿 x 轴转动时构成的弧即是原点和圆心之间的距离， 关于y 的坐标，永久坚持长度 r安定。因此我们取得：弧长是rΘ，那么圆心坐标C(rΘ，r)

起首让我们找到一个函数 x(t) 来形貌摆线的 x 坐标怎样随着Θ厘革而厘革。点 P 从原点开头，并以即是线段 OC 长度的办法挪动，那么圆的弧长是：

我们不必要晓得半径的准确值，并且 Θ会有所不同。很简便：

但是OC的长度并不是我们眷注的。我们必要减去线段PC的长度，取得OP = x，我们可以使用三角函数：

因此X的坐标即是

摆线的y坐标

当 Θ厘革时，我们将使用相似的办法来确定 y 的坐标。圆心到 x 轴的垂线长度即是 r，r是圆的半径。我们如今要减去圆心到P点的距离。我们可以使用三角函数取得它的长度为 rcosΘ。因此，我们取得 y 的坐标即是：

我们晓得摆线可以用两个参数方程来界说，即