为什么要学习正弦定理和余弦定理？--go百科网

为什么要学习正弦定理和余弦定理？

正弦定理和余弦定理是我们在高中数学学习中碰到的一组十分紧张的定理，它们展现了三角形的边角干系，将两者搭配使用能处理很多（斜）三角形成绩.

你大概曾疑惑为什么要学习这两个定理，岂非仅仅是为了解题吗？不！实践上，这两个定理有着十分美好的使用，十分可惜的是，我们刷了很多题，却无视了其眼前包含的数学之美.

今天，小编就和各位来聊一聊为什么我们要学习正弦定理和余弦定理.

1 正弦定理和余弦定理

起首，我们往返忆一下什么是正弦定理和余弦定理：

正弦定理在中，若角ABC所对边的边长分散为abc，则有

余弦定理在中，若角所对边的边长分散为，则有

使用正、余弦定理，我们可以处理多量的实践成绩.

2 正、余弦定理与奥秘的流星

流星是一种天文征象，这几乎是每个古代人都熟知的内幕，但是当我们穿越汗青的迷雾，就会发觉人类关于流星的认知并非是从一开头就明晰明白的.

人们曾一度推测，天空中划过的流星是一种地球的蒸发物，亦或是地球上的磷火升空后的熄灭征象.直到18~19世纪之交，德国天文学家本森伯格和布兰德斯接纳三角学办法出色地论证了流星实践上是“天外来客”.

如图，设有两个观察者在地球上的两个观察点，他们对同一颗流星举行观察，此中AB=500km，由地球半径可得

因此

已知两个观察者的仰角分散为

则

由正弦定理得

可算出

再由余弦定理可得

也就是说，流星距离地表的高度约为

但是，封建发觉云层的高度不凌驾，因此我们可以判定，流星不成能是地球上的某种蒸发物，它一定是天外来客！可见，正是正弦定理和余弦定理协助人类迈出了准确认知这种奥秘天文征象的第一步.

3 正、余弦定理与丈量成绩

正、余弦定理在数学史中与测高、测距等实践成绩严密干系.17世纪今后，随着三角学的提高，人们更多地运用三角学来处理诸多丈量成绩.特别是到18世纪初，法国数学家马雷（1630—1706）在其著作《实用几多学》中讨论了几类经典的三角学使用成绩.

成绩Ⅰ：如图，怎样丈量海岛上某修建物的高度？

一方面，这个成绩的困难之处在于无法丈量出观察点到修建物底部的距离，但是另一方面，借助事先以前创造出来的测角仪，我们可以丈量出两个观察点与修建物底部、修建物顶部之间产生的种种角度，并且两个海洋观察点之间的距离也是可以晓得的.

对此我们可以笼统出如下数学模子：

已知以及角1234以及 CD，求AB.

解答：在中，由正弦定理：

以是

同理，在中，由正弦定理可得：

盘算出和后，在中使用余弦定理可得：

如此测高成绩就迎刃而解了.

相对应的，有测高成绩就有测距成绩.

成绩Ⅱ：如图，怎样丈量某两个海岛修建物之间的距离？

实践上，有了成绩Ⅰ的铺垫，我们就可以比力轻松地域解并处理成绩Ⅱ了，将其笼统为如下模子：

模仿上述测高成绩的处理办法，我们只需分散在和中使用两次正弦定理算出和，然后在中运用余弦定理算出即可.

可见，测高成绩和测距成绩贯串了整个三角学的提高历程.实践上，三角学在丈量范畴的紧张影响从其英文名“Trigonometry”就可见一斑：这个单词最早是由德国数学家毕蒂克斯（B.Pitiscus,1561~1613）于1595年首创，由希腊文“trigono”（三角）和“metrein”（丈量）组合而成，其原意便是三角学的丈量.种种丈量成绩是三角学要研讨的基本成绩，而厥后三角学的涵义越来越丰厚，渐渐成为研讨三角函数及其使用的一个数学分支.

4 正、余弦定理与平面几多

有些初等几多成绩用纯几多的办法求解屡屡比力困难，但是当我们借助正、余弦定理，则成绩就可以取得简化.比如，古希腊数学家海伦在其著作《丈量学》一书中提出了出名的“海伦公式”：