什么是重心坐标？
重心坐标常常以潜伏的情势显现于触及向量的数学标题中。
在一维情况，选定了直线上的有序相异二点，该直线上的每个点都唯一地对应着和即是 的有序实数对，称为该点关于选定的有序二点组的重心坐标。特别地，选定的二点及它们的中点的重心坐标分散为
在二维情形，选定了平面上不共线的有序三点，该平面上的每个点都唯一地对应着和即是 的有序实数三元组，称为该点关于选定的有序三点组的重心坐标。特别地，选定的三点及它们的重心点的重心坐标分散为
在三维情况，选定了空间中的不共面的有序四点，该平面上的每个点都唯一地对应着和即是 的有序实数四元组，称为该点关于选定的有序四点组的重心坐标。特别地，选定的四点及它们的重心点的重心坐标分散为（改正：重心点的坐标是四个1/4）
如此就取得了直线、平面和空间的重心坐标系。
本文扼要先容一维、二维、三维重心坐标系，合适于准备参加强基方案的中学生阅读。
(一)点组的幺和系数的线性组合——代表点
称一组数为幺和的，假如它们的和即是
底下的命题标明，任何点组的一组幺和系数的线性组合代表唯一确定的点。
命题1设 是空间中的点组， 是一组幺和的实数。则存在唯一点 使得向量等式
对于随意点 建立。
证实：任取点 则有向量
依据向量的界说，存在唯一点 使得
如今证实，假如把 换成随意别的的点 上述向量等式仍建立。
使用等式
立刻取得
这就证实白命题1。
暗号：我们把与点 不关的向量等式
简写为
并进一步了解为关于点组的线性组合的等式。
(二)点组的零和系数的线性组合，代表向量
称一组数为零和的，假如它们的和即是
底下的命题标明，任何点组的一组零和系数的线性组合代表唯一确定的向量。
命题2设 是空间中的点组， 是一组零和的实数。则
是确定的向量，与点 不关。
证实：关于随意点 及 使用
立刻取得
这就证实白命题2。
暗号：我们把与点 不关的向量等式
简写为
并了解为点组的零和系数的线性组合。
(三)重心坐标系
只管可用一致办法叙说一维到三维的重心坐标系，但是为了便于了解，我们分散写出一维、二维、三维的命题。
命题3.1设 是直线上有序相异二点。任取该直线上一点 存在唯一的幺和的有序二元实数组 使得
这里的幺和的有序二元实数组 称为 关于有序二点组 的一维重心坐标。
容易验证， 关于有序二点组 的重心坐标分散为
命题3.2设 是平面上不共线的有序三点。任取该平面上一点 存在唯一的幺和的有序三元实数组 使得
这里的幺和的有序三元实数组 称为 关于有序三点组 的二维重心坐标。
容易验证， 关于有序三点组 的重心坐标分散为
命题3.3设 是空间中不共面的有序四点。任取空间中的一点 存在唯一的幺和的有序四元实数组 使得
这里的幺和的有序四元实数组 称为 关于有序四点组 的三维重心坐标。
容易验证， 关于有序四点组 的重心坐标分散为
这三个命题的证实是完全相似的。这里我们仅写出三维情况的证实。
命题3.3的证实：依据向量的几多基本，点组 不共面，等价于向量组 不共面。
因此向量 可以唯一办法表现为向量组 的线性组合，即存在唯一的有序三元实数组 使得
关于随意点 有
划定
则有
为了证实唯一性，从命题中的等式动身，立刻取得
由于向量组 不共面，以是有序三元实数组 是唯一的，从而 也是唯一的。
这就完成了命题3.3的证实。
注：由证实的后一局部可知，随意给定幺和的有序四元实数组 存在空间中的点 使得 关于有序四点组 的三维重心坐标为
因此三维的重心坐标系创建了空间中的全体点与幺和的全体有序四元实数组 之间的逐一对应。
一维及二维重心坐标系也有完全相似的实质。
(五)重心坐标的物理意义
依照物理学来表明，点的重心坐标，可以了解为仅限质点体系的各点所配的质量占比。
一维情况：设点 关于有序相异二点组 的重心坐标为 则 可以了解为质量之比为
的二质点体系 的质心。
二维情况：设点 关于不共线的有序三点组 的重心坐标为 则 可以了解为质量之比为
的三质点体系 的质心。
三维情况：设点 关于不共面的有序四点组 的重心坐标为 则 可以了解为质量之比为
的四质点体系 的质心。
必要注意的是，这里的“质量”是数学意义上的，允许随意实数值。
(六)重心坐标的几多意义
重心坐标可以表现为得当的有向图形之比。
命题6.1设 是直线上有序相异二点。则该直线上的随意点 的重心坐标 由有向线段之比给出：
注：这里有向线段 是用 分散交换有向线段 中的 所取得的。
命题6.2设 是平面上不共线的有序三点。则该平面上的随意点 的重心坐标 由三角形的有向面积之比给出：
注：这里有向三角形 是用 分散交换有向三角形 中的 所取得的。
相似地，三维重心坐标可以表现为有序四周体的代数体积之比。
(七)齐次重心坐标
称重心坐标的连比为齐次重心坐标。为区别，原本界说的重心坐标，也称为标准重心坐标。
依据重心坐标的几多意义，一维齐次重心坐标为
二维齐次重心坐标为
三维齐次重心坐标为
由齐次重心坐标，容易取得标准重心坐标。
齐次重心坐标为 的点的标准重心坐标为
或简写为
(八)由支解比求出重心坐标之比
给定三角形 地点平面上不同于极点的一点
设直线 分散交对边地点的直线 于
则 关于 的齐次重心坐标为
而 关于 的齐次重心坐标为
容易看出， 分各自地点边之比为
由此可以得出 的对应的重心坐标之比，从而求出 的齐次重心坐标。
(九)三角形的几个特别点的重心坐标
按常规，记三角形 的边 的长度分散为 周长为 而极点 处的内角分散为
依据重心坐标的几多意义，大概使用上一节的办法，可以求得三角形 的重心、内心、旁心、垂心、外心关于 重心坐标。
命题G三角形 的重心的齐次及标准重心坐标为
命题I三角形 的内心的齐次及标准重心坐标为
命题I'三角形 的旁心的齐次及标准重心坐标为
命题H三角形 的垂心的齐次及标准重心坐标为
命题O三角形 的外心的齐次及标准重心坐标为
大概表现为别的的情势：
注：三角形的特别点都可经过重心坐标来给出。Clark Kimberling创建了三角形特别点大百科：
https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
(十)欧拉线定理
使用外心、重心、垂心的标准重心坐标，立刻得出出名的欧拉线定理。
欧拉线定理：三角形的外心 重心 垂心 共线，且满意
证实：以前求得三角形 的外心、重心、垂心的标准重心坐标为
容易直接验证它们的标准重心坐标满意
因此 落在线段 上，且支解比为
这就证实白欧拉线定理。
(十一)三角形边框图形的重心
作为重心坐标办法的简便使用，我们确定三角形边框图形的重心点。
命题K三角形 的边框图形的重心点 的齐次及标准重心坐标为
证实：令三角形 的边 的质量 (即边长) 分散会合于该边的中央 则 是 分散配以质量 所构成的三质点体系的质心。因此有
这就证实白命题K。
(十二)完毕语
重心坐标办法在几多学、拓扑学、盘算机图形学及地球物理中都有紧张使用。
汗青上，重心坐标系是由德国数学家莫比乌斯 (August Ferdinand M?bius, 1790-1868) 于1827年引入的。
从射影几多的看法来看，重心坐标系是一种射影坐标系。
经过齐次重心坐标，可以找出射影几多意义下的无量远点——它们恰好是那些齐次重心坐标不全为零但其和即是零的新的“点”。
渴望同砚们以前开头了解了什么是重心坐标。
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泉源：数学元年
编纂：Quantum Bard
