函数的极限、一连、可导、可微是怎样层层递进的

之以是写这篇文章，目标在于缕清函数极限、一连、可导、可微内在思绪，只需思绪明晰了，我们才可以做到内心有理有据，端庄向不出错。

函数的极限、一连、可导、可微是怎样步步为营，层层递进的。

起首我们看看极限是怎样提出来的？极限：无穷接近而永久不克不及抵达，英文名字limit，极限标记就是取缩写lim，它就是一个标记，意思是自变量x取值接近一个数，函数值是几多。

在盘算曲线长度的时分，我们不会丈量曲线的长度，只能把曲线不休支解，再把支解的线近似即是直线来丈量，如此下去我们就可以取得曲线的近似长度；那怎样愈加迫近曲线真是长度呢？仅有切割无穷多无量小的直线才可以更真是模仿曲线长度，这里的无量小，毕竟是多小呢？在数字中数学0是最小的，无量小仅有无穷迫近0但不克不及即是0，如此才可以区分的最小，无量小是一个动态的厘革的数值，在数学中是不克不及盘算出具体后果的，于是数学家引入一个新的数学看法---极限，无量小的极限即是0，是具体的数值，如此我们就使用无量小的极限来举行盘算了。

为了外貌表达极就是动态厘革的，我们拿0.999...... 数字9无穷循环下去，这个数字不休在厘革，我们可以取它极限也就是1拿来盘算。

为什么必要求极限，但凡触及无量的成绩都是必要求极限的成绩，由于无量就是一个动态厘革历程，不克不及直接求出准确数值，只能使用极限头脑求值。

极限我们是可以从不同朝向求取的，也就是左极限和右极限，如下图我们可以求出一段函数的左极限大概右极限。

有了极限头脑，那么函数的一连性就自但是然处理了，假如函数上点P，在P点可以向左挪动无量小，也可以向右方挪动无量小，那么我们就说函数在点P处是一连的，由于无量小是随意小，只需你想到多小就有多小，正中是没有漏洞的，也就是说仅有P点的左极限和右极限相称时，才干分析函数是在点P处一连的，极限唯一确定才一连。一连是不管是不是平滑，尖角也可以是一连的比如图中点b处。

有了一连看法，接下去我必要研讨连续函数的平滑水平，厘革朝向，也就是导数，导数具有导向、导游涵义，也就是表现朝向的意思。导数几多意义就是在点P的切线，也就是正切值。切线就是触碰的意思，既然有朝向性就有正负,具有矢量实质。要是要求函数的导数存在也就是导数是确唯一的，那上图做例子，b点左侧的到时是负值，右侧的导数是正值，从右方导数和从右方导数是不相称的，分析在b点导数是不存在的，导数是验证函数厘革朝向和厘革平滑水平。

接下去我们看看可微，可微也就是可以区分红弱小的地区，在一元函数中，也就是可以把曲线切割开来，只需充足小，区分地区就可以同等直线，这就和导数涵义一律了。以是在在一元函数中，可微和可导是等价的；

但是在二元函数中，可微是把曲面区分红弱小的直面，也就是平面，是以直面代替曲面举行盘算，使用微平面盘算。但是可导呢？可导照旧一维产物，是在一个朝向的厘革水平，一个二维直面和一个一维直线段是不克不及等价。以是在二元函数中，可微和可导不是等价的。

我们来梳理一下，极限、一连、可导、可微的递进干系：

一个函数点A是可以从右方和右方两个朝向求极限的，左极限和右极限可以相称也可以不相称；仅有点A左极限和仅限性相称的时分，我们才可以说函数在点A是一连的，一连是个标量，没有朝向，也就是尖角和世故角都可以一连；导数是朝向，切线，也是有朝向的，尖角处左导数和右导数是不相称的，仅有支配导数是相称的才是分析点A处可导；可导是朝向是一维空间，可微是微线段、微直面、微平面等等是不同维度的，仅有一维空间的位线段可微和可导是等价的，但是到微直面、微平面的可微是多维度的，不克不及和一维度的可导等价。