刁悍的泰勒公式
“初次见你，我是那么厌恶你，厥后的生存越来越离不开你，如今你是我心中的女皇。” ——献给斑斓的泰勒公式
1. 初识泰勒公式
当我们开头上高数课或数分课约莫二个月的时分，就会碰到这个令人生厌的泰勒公式，由于她太贫苦太繁复。一是她有那么多项，二是她要我们求那么多的各阶导数，三是带着一个不晓得是几的中值余项，托付，既然不晓得中值是几，还弄出这个余项干么？哦，打住，别埋怨，你会徐徐爱上她的！！！
2.极限成绩的中心
当 x>0 很小时，思索 x、sin x 和 tan x 的不同有多大？回复这个成绩起主要确定一个标准，就是他们之间是简便倍数干系？照旧“数目级”的不同？关于初学者来说，约莫还必要不少脑洞。但关于进阶者来说，立刻就可以晓得后果，由于当 x→0 时 sin x ～ tan x ～x，三者是等价的，不太确切地说是三者几乎相称(注意不是相对相称)。哦，你以为简便分析你以前差不多了解等价无量小了。
那么进一步，把三者略微运算一下，看看当 x>0 很小时，tan xㄧsin x 和 x^2 的不同有多大？稍有履历的同砚明白乘积情况下，因子可以用等价无量小交换来求极限，故前者比后者小的多，由于 tan xㄧsin x=sin x (1ㄧcos x)/cos x～(x^3)/2，他比 x^2 小的多，完全不在一个“数目级”，这里所说的“数目级”但是就是 x 的次数，tan xㄧsin x 相当于 x ^3，他远远小于 x^2 。瞧，这就是阶的比力。
温馨提示： 只需两个无量小作商，极限为0，我们就说分子是比分母高阶的无量小。
假如你充足仔细，一定发觉我们把 tan xㄧsin x 转化为 (x^3)/2 了。这是最广泛的最高效的比力阶的办法，由于幂函数最容易作阶的比力了，x^3 就比 x^2 多一个 x，因此 tan xㄧsin x 是比 x^2 高阶的无量小。
当 x→0 时，函数 f(x)～cx^k，就说 f(x) 是 x 的 k 阶无量小，此中 c 和 k 都为非0常数。称 cx^k 是 f(x) 的主项。找到函数各因子的主项就找到了函数的极限。
温馨提示： 为了简化无量小阶的比力，我们通常把非幂函数转化为幂函数。 极限的中心成绩是无量小阶的成绩！
可以看出，函数 tan xㄧsin x 的主项是 (x^3)/2。但是找一个函数的主项不像这个例子一样简便，于是成绩来了，怎样找函数的主项呢？
3.泰勒公式的威力
一个函数 f(x) 在点 x0 的泰勒掀开式是
此中 Rn(x)是余项，可以有两种情势，一种称为拉格朗日余项，即
实用于掀开式的偏差估测，以及其他愈加精密的利用，此中 ξ 介于 x 和 x0 之间。另一种称为皮亚诺余项，即
表现掀开式带有这么一个偏差项，大抵和 (xㄧx0)^n 等价的一个无量小。
在处理极限成绩是我们更多用的是 x0＝0 时的泰勒公式，也称为麦克劳林公式：
比如，sin x 和 tan x 的掀开式为：
泰勒公式在求函数极限时有很高的听从，缘故在于使用泰勒公式可以便利地求出函数的主项，如 sin x 和 tan x 的主项都是 x，而 tan xㄧsin x 的主项为 (x^3)/2，这是由于 tan xㄧsin x 的泰勒公展式为：
同理 sin xㄧx 的主项为 ㄧ(x^3)/6， sin xㄧx + (x^3)/6主项为 (x^5)/120。
温馨提示： 使用泰勒公式可以便利地求出函数的主项。
很多繁复的函数极限成绩，使用泰勒公式都可以完善处理。
4.一个繁复的例子
本例泉源于吉米多维奇习题集第1407号成绩：
求 tan(sin x)ㄧsin(tan x) 的主项。
因此有下列极限
5.斑斓的泰勒公式
高数大厦起极限 阶的比力破万难 敢问阶路在何方 泰勒公式若容易
玩不转泰勒公式，请不要说“高数我能行”
玩不转泰勒公式，请不要说“我是数学人”
