使用杨辉三角形来表明二项式定理

我对二项式定理(Binomial Theorem)的热爱无以言表，它看上去有很大多学标记，但实质上是用组合的办法来处理一个长得可骇的代数成绩。尤其在你邂逅美好的杨辉三角时，就会更感遭到的数学不成思议之处。

但当第一次碰到它的时分，二情势定理中这些并不熟习的数学标记约莫会让你望而却步。看底下的整个公式，有求和 ∑ 标记，带有阶乘的组合公式，另有种种指数都在此中。

此中从 n 个元素中拔取 k 个元素的组合公式为：

二项式定理但是是一个二项多项式乘以本人 n 次最初掀开取得的后果。底下就是一个笼统掀开式，分析怎样将二项式相乘 n 次的后果。实践上，如此教科书般的展现办法很难阅读。

不要担心，这个公式实践使用并不太难，经过此文可以了解一个繁复的二项式是怎样掀开。

二项式定理的运用

让我们从一个简便的例子开头，假定我们想用算出，即使用逐项来乘这也并不难做，但是让我们使用下二项式定理，以便于当你碰到更大的掀开式，比如二项式的指数提升到 4，5，6... 时，你会晓得怎样准确地去做。

起首，你必要确定二项式的两项(外表公式中 x 和 y 的地点)和要掀开的幂指数(n)。二项式定理的奇妙之处在于无需真得把一堆二项式相乘就可以找到掀开的多项式。

别的，请注意最初掀开的多项式的项数总是比要掀开的幂指数大 1，这意味着假如幂指数是 3，则掀开后多项式有 4 项。

比如，掀开(2x-3)3，这两项是 2x 和 3，幂指数 n 的值是 3。注意，每当你在二项式中做减法的时分，一定要记得把减号作为负号写在相应的项上。

每一项都有一个(2x)和(-3)以及 n=3 的“n 选 k”公式。你可以写下 4 次，每一项都写一次，把 k 的值留在“n 选 k”公式里，幂指数暂且为空。

接下去你要填入 k 值和幂指数。这里增长每一项的次数你可以依照求和公式，只需依照这些形式就很简便了。

“n 选 k”中的 k 值将从 k=0 开头，每一项增长 1，最初一项应该是 k=n,在这种情况下 n=3,k=3。然后我们必要在(2x)和(-3)上加上幂指数。

(2x)上的幂指数从 n 开头，以是这里是 3，每一项变小 1，直到 0。(-3)的幂指数从 0 开头，每次增长 1 直到 n，在这个成绩中是 3。

由于任何数的 0 次幂都即是 1，以是可以先简化带有 0 次幂的项。

接下去，尽约莫地简化这些幂。

二项式定理掀开式中每一项系数(即二项式系数)由两个非负整数 n 和 k 来决定。

这个数但是表达了从 n 个不同元素中取出 k 个元素的一个组合。最直接的办法是对每个成绩使用底下组合数公式来盘算，但是我们要借助杨辉三角走点捷径。

杨辉三角形是一个简便而强壮的三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的分列形如三角形。杨辉三角的前 10 行写出来如下：

这是很棒的一局部，隐蔽在杨辉三角里的是能处理任何“n 选 k”的答案！它就像一个奥密的小作弊本事！下图体现了隐蔽的“n 选 k”的地点。

关于这个成绩，我们必要解出：3 选 0，3 选 1，3 选 2，3 选 3，也就是第四行的一切值。以是我们必要做的只是查找杨辉三角的第四行并把答案婚配起来。

第四行的值是 1，3，3，1，以是只需带入 n 选 k 的值。

最初，你要做的就是将每一项相乘，并化简为最简情势。不要忘记反省你的终极答案以确保每一项的幂指数仍旧加到了原本的二项式上。信赖我，在这类成绩中很容易显现誊写错误。

最初的答案：

二项式定理看起来十分令人头痛，但是假如将其分析成更小的步调并反省各个局部，它掀开的历程也并不繁复。

假如指数 n 推行到随意实数次幂，即牛顿在 1665 年所公布的广义二项式定理，这个定理不仅是微积分创造的基本，也牛顿浩繁数学创造的出发点，大概在将来的文章中会单独讨论。

本文作者：[遇见数学翻译小组] 中心成员姚佳