海韵教导丨数学科普：圆锥的体积为什么要乘1/3？

　　小学六年级我们就学习了圆锥的体积公式，各位都晓得圆锥的体积是等底等高圆柱体积的1/3。那为什么即是圆柱体积的1/3呢？几乎一切版本的小学数学讲义都是使用演示的办法来分析的。即教师拿着纯透的等底等高的圆柱和圆锥，圆锥盛水（或沙子），装满往圆柱倒三次，圆柱满了，就分析两者体积有3倍干系。

　　固然讲义如此编排的目标是基于小学生的学科认知根原本处理的，但在实践教学中，你会发觉，越来越多的孩子并不满意这种表明的，他们总会冲破砂锅问毕竟，而这个成绩的表明包含了淳厚的微积分头脑和祖暅原理。作为教员来说，我们有必要给孩子举行一个数学科普，让他们明白此中的原理，这无疑会培养孩子们进一步学习和研讨数学的热情。

　　一、先谈谈圆的面积推导

　　推导圆的面积时，我们把圆平分红多少个“圆三角形”，再拼成一个近似的平行四边形。分红的小三角形越多，拼成的图形越接近矩形。再比力两者的干系，使用长方形的面积公式推导出圆的面积公式，这就是“化曲为直”的头脑，而切拼的历程但是是使用微积分的头脑。

　　圆的面积=圆周长的一半×半径=πr×r=πr2（如图所示）

　　二、再说说圆锥体积公式的由来

　　那么圆锥的体积为何和圆的面积扯上干系了，这里主要用到的是圆面积推导的办法“化曲为直”来表明的。照旧一样的真理，起首把等底等高的圆柱和圆锥如图细分，分得充足细，化曲为直，于是分出的每一小片就是一个三棱柱和对应的三棱锥。

　　接下去我们要研讨的就是等底等高的三棱柱和三棱锥之间的干系了。

　　这里先说一个结论，就是等底等高的三棱锥体积相称，这必要先来说一个原理，祖暅原理。

　　祖暅（ɡènɡ），亦名祖暅之，是我国出名数学家祖冲之（公元429—500）的儿子，他的活动时期约莫在公元504—526年。是南朝齐梁间数学家，曾任太府卿。祖氏父子在数学和天文学上都有出色奉献。

　　祖暅在修补编纂祖冲之的《缀术》时，提出了出名的祖暅原理，并奇妙地推导出球体积公式。

　　祖暅原理也称祖式原理，一个触及几多求积的出名命题，公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术，祖暅在求球体积时，使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”。

　　祖暅原理：“夹在两个平行平面间的两个几多体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相称，那么这两个几多体的体积相称。”

　　如下图：完全相反且数目一样的两堆书叠成两摞，一摞竖直叠，一摞斜着叠，（分散对应一个直棱柱和一个斜棱柱）用平行于底面的截面截这两个棱柱，截得的截面面积是到处相称的，而它们的体积显然是相称的，这是祖暅原理的直观体现。

　　由祖暅原理知底面积相称的如下三个柱体的体积都相称：

　　以是下图中，等底等高的两个三棱锥，由于相似干系，同一高度的截面积相称，于是由祖暅原理可知，等底等高的两个三棱锥，体积相称。

　　不外锥体（棱锥、圆锥及不端正锥体）的体积，却不克不及直接按上述办法界说。我们可以追念小学时推导三角形的面积公式：两个相反的三角形可以拼成一个平行四边形，从而三角形的面积是：

　　我们可以效仿这种头脑，不难证实：三棱锥的体积即是等底等高三棱柱体积的1/3，如下图：

　　三棱柱ABC－A'B'C'的底面积（即△ABC的面积）为s,高（即点A'到平面ABC的距离）为h，则它的体积为sh，沿平面A'BC安静面A'B'C，将这个三棱柱支解为3个三棱锥，此中三棱锥1，2的底面积相称（S△A'AB=S△A'B'B），高也相称（点C到平面ABB'A'的距离）；三棱锥2，3也有相称的底面积（S△B'BC=S△B'C'C）和相称的高（点A'到平面BCC'B'的距离）。因此，这三个三棱锥的体积相称，每个三锥的体积即是等底等高三棱柱体积的1/3。

　　如此进一步推行，不但是棱锥体，圆锥也一样。只需是锥体，等底等高的锥体体积都相称。如此很容易由等积干系看出，一切锥体的体积都即是与它等底等高柱体体积的1/3。

　　最初，回到最初圆柱圆锥的支解图上，由于圆柱支解成很多近似的小三棱柱，圆锥支解成对应的很多小三棱锥，每一小块小三棱锥的体积都是对应小三棱柱体积的三分之一，因此终极的圆锥体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。这此中学生可以完全了解，小学生了解力好的但是也能了解。

　　好了，最初渴望这些内容可以协助我们的孩子提高数学学习的兴致和热情，更多的数学成绩，各位可以本人方留言，我们一同来研讨吧！