八年级下册数学期末总复习 知识清单（北师大版）

目 录

第一章 三角形的证明

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

第三章 图形的平移与旋转

第四章 因式分解

第五章 分式与分式方程

第六章 平行四边形

第一章 三角形的证明

一、全等三角形判定、性质

1、五种基本判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专属判定定理）

2、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

二、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；(定义)

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

（三线合一）

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

三、等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

四、直角三角形

1、直角三角形的性质

①、直角三角形的两锐角互余

②、满足勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

③、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

④、斜边中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

3、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

【例题】下列四个命题中，真命题有（　　）个①若a＞0，b＞0，则a+b＞0； ②同位角相等；③有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；④三角形的最大角不小于60°

A、1 B、2 C、3 D、4

【解析过程】解：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0，是真命题；②两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，③有两边和其夹角分别对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题，④三角形的最大角不小于60°，是真命题；故选：B．

五、线段的垂直平分线、角平分线

1、线段的垂直平分线。

①、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

②、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）

③、判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。

①、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

②、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）

③、判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

【例题】一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量最少为 克。

【解析过程】

解：∵某种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，∴蛋白质含量的最小值=300×0.5%=1.5克，∴白质的含量不少于1.5克．故答案是：1.5．

2、基本性质：

性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变. 如果

，那么 。（注：移项要变号，但不等号不变）

性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果

,并且 ,那么 。

性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果

,并且 ，那么 。

比较大小：作差法

3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解

4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

5、解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。边界:有等号的是实心圆点,无等号的是空心圆圈。

6、一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式

7、解不等式的步骤:

①、去分母； ②、去括号； ③、移项、合并同类项； ④、系数化为1。

【例题1】已知点P（1＋m，3）在第二象限，则m的取值范围是

【解析过程】

解：点P（1＋m，3）在第二象限， 则1＋m＜0，

9、一元一次不等式与一次函数

10、一元一次不等式组

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，焦作这个一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

11、实际问题抽象出不等式或不等式组

列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤

（1）审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式；

（3）(根据不等量)关系式列不等式(组)

（4）解不等式组； （5）检验 （6）作答。

【例题】某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有5%的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少定为多少元/千克？设售价为x元/千克，根据题意所列不等式正确的是（　　）

第三章 图形的平移与旋转

一、图形的平移

1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

关键：a、平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。

b、图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

2、平移的规律(性质)：

经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3、简单的平移作图：

平移作图要注意：①、方向；②、距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。

【例题】在平面直角坐标系中，把点P（-5，2）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（　　）

二、图形的旋转

1、旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。

关键：

、旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。

、图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

2、旋转的规律(性质)：

一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

3、简单的旋转作图：

旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

三、中心对称

1、概念：中心对称、对称中心、对称点

把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。

2、中心对称的基本性质：

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。

3、中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心

把一个面图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比

6、图案的分析与设计

①、首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。 ②、图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。

第四章 因式分解

1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。

2、公因式：把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.

3、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法

4、找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

5、公式法：

6、分解因式的一般步骤为:

（1）若有

先提取

，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.

（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.

（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.

7、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

（1）把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

（2）把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

8、补充：十字相乘法

第五章 分式与分式方程

1、分式的定义：

①、一般地，用

表示两个整式，

可以表示成（）

的形式，如果（）

中含有字母，那么称

为分式，其中（）

称为分式的分子，

称为分式的分母。

②、分式有无意义及分式的值为0的条件

（1）分式有意义的条件是：分母不等于0；

（2）分式无意义的条件：分母等于0；

（3）分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.

2、分式的基本性质：

①、内容：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

②、数学表达：

3、最简分式：

一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素），这样的分式称为最简分式。

4、最简公分母：

①、通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

②、寻找最简公分母的常用方法：

（一）当算式中有几个分数相加减，分母互为相反数，最简公分母可取其中任何一个分母。

例如：分式的最简公分母是 或 。

（二）当算式中的几个分母都是单项式时，最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积。

（三）当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式分解，最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积。

进行通分时，先看系数，找系数的最小公倍数，然后把两个分母进行因式分解，再取每个相同的因式的最高次幂，把这些因式相乘，得到最简公分母为

。

（四）当算式中分式的分子与分母都有公因式时，可以先把这个分式约分，再根据情况确定最简公分母。

5、分式的约分与通分：

（一）约分：

（1）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。

（2）最简分式：当分式的分子和分母没有公因式时，这样的 分式称为最简分式。

（3）约分的要求：使得最后的结果称谓最简分式或整式。

（二）通分：

（1）在数学问题中，根据题意，要把几个异分母的分式化成与原来分式相等的同分母的分式，这样的过程叫做分式的通分。

（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母。（3）最简公分母的求解方法。

6、分式的四则运算法则：

（1）分式的乘法法则：将分子与分子相乘的积作为新的分子，分母相乘的积作为分母，如果是分式乘以整式，可将分子与整式相乘的积作为分子，分母保持不变。

数学表达：

（其中

不为0）；

（其中

不为0）

（2）分式的除法法则：将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

数学表达：

（其中

不为0）

（3）分式的加减法法则：同“分母”加减，“分子”相加减；异“分母”加减，先通分，再进行加减。

7、分式的幂运算法则

（1）分式的乘方：

（

为正整数）

（2）负指数幂：

（

为正整数）

8、分式方程：

这样的方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程（有理式方程）。这里要注意，分母是含有未知数，而不是仅仅含有单一的字母，作为分式方程的分母，等式左边或右边必须含有未知数，同时无需化简再进行判断。

9、分式方程的解的含义：

使得分式方程所有分母不为

且左右两边相等的未知数的值，叫做分式方程的解。

10、分式方程的解、增根与无解：

（1）解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。???

（2）解分式方程的一般步骤：（口诀：“一化二解三检验四总结”）?

A、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；?

B、解这个整式方程；?

C、验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

（3）分式方程的增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使得最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。

（4）分式方程无解：指的是不论未知数取何值，都不能使得方程两边的值相等，它包含两种情形：

情形A：原方程去分母后的整式方程出现

，此时整式方程无解；注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0。

情形B：原方程去分母后的整式方程有解，但这个解却使得原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。

11、分式方程的实际应用（由实际问题抽象出分式方程）

【例题】在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？

第六章 平行四边形

1、平行四边形的定义：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；如图，平行四边形ABCD，记作“

ABCD”。其中，AB与CD、BC与DA称为对边；

∠DAB与∠BCD为对角；∠ADC与∠ABC也是对角。

AC、BD为平行四边形ABCD的对角线，交点为O

注意：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

2、平行四边形的性质（主要分边、角、对角线三方面）

边： ①、平行四边形的两组对边分别平行；

②、平行四边形的两组对边分别相等；

角： ③、平行四边形的两组对角分别相等；邻角互补。

对角线：④、平行四边形的对角线相互平分。

图形的变化：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。

3、平行四边形中的角平分线

①、任意角的角平分线必形成等腰三角形；

②、平行四边形的邻角角平分线相互垂直；

④、过对称中心的直线平分平行四边形的面积

4、平行四边形的判定定理（5种）

判定定理①：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

判定定理②：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

判定定理③：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

判定定理④：对角线相互平分的四边形是平行四边形；

判定定理⑤：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

5、三角形中位线：

①、中位线的含义：连接三角形任意两边中点形成的线段叫做三角形的中位线；

②、中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

③、中位线逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

④、中位线逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

6、多边形内外角和定理

①．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°，

②．多边形内角和定理：

7、正多边形与平面图形的镶嵌（密铺）

①、正多边形：在平面内，各边都相等各个内角都相等的多边形叫正多边形。

②、平面图形的镶嵌：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌或密铺．

③、正多边形镶嵌（密铺）有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．因此，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．